Image formation¶

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Camera and lens¶

pinhole camera model¶

aperture 小孔成像，得到清晰的图像

要求孔的直径很小，但是亮度会越来越低，而且也会有衍射的影响，所以不能无限小

Lens¶

解决的方式是透镜 (lens)，透镜的作用是将光线聚焦到一个点上，这个点就是焦点 (focus)

\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{o} + \frac{1}{i} \]

\(f\) 是焦距 (focal length)，平行光线经过透镜后会聚焦到焦点上

Image Magnification¶

图像的放大率：变焦距，焦距越大，放大率越大。 \(m = \dfrac{h_i}{h_o}\)

Field of view¶

底片越大，可以加的传感器越大，视场越大

F-number¶

More convenient to represent aperture as a fraction of focal length: \(D = \dfrac{f}{N}\) 焦距/F-number
F-number: \(N = \dfrac{f}{D}\)

2.8 以下的镜头都是大光圈镜头，2.8 以上的镜头都是小光圈镜头

Lens Defocus¶

失焦就会形成一个光斑，光斑的正比于光圈的大小，如果拍合照尽量用小光圈，来让尽可能多的人清晰。这个光斑越大代表越模糊。

Depth of field 景深 ¶

有一定的范围是清晰的，只要光斑的大小不超过像素的大小，就是清晰的。景深越小，虚化越明显。景深与焦距成反比。所以拍特写的时候需要景深小，也就是焦距大，光圈大，物距近一点。

Geometric image formation¶

Perspective projection 透视投影 ¶

也就是 pinhole camera model

根据相似三角形，可以得到

\[ u = \dfrac{f}{z}x, \quad v = \dfrac{f}{z}y \]

Homogeneous coordinates 齐次坐标 ¶

对于齐次坐标系，乘以一个常数仍然是原来的点。透视投影的原物体有无数可能的形状，所有透视投影一定是不可逆的

透视投影的性质：

直线还是直线，长度丢失了，角度也不保持了。
垂直于光轴 / 平行于相面的平行线投影后还是平行线

Vanishing points¶

任何不平行于相面的平行线投影后不再平行，会汇聚到一个点上，这个点就是消失点 (vanishing point)。
三维空间内的平行点汇聚到相面上的同一点，这个点与线的位置无关，与朝向有关。消失点告诉我们线的朝向（相对相机），如果消失点在图像内偏上，说明相机是向下倾斜的。
灭点的位置可能在图像外面或无穷远处，无穷远处说明在图像内还是平行的。

Note

二维空间中的点，是三维空间中射线的投影，齐次坐标就是这条线对应的朝向

Vanishing Lines¶

Multiple Vanishing Points
- Any set of parallel lines on the plane define a vanishing point
- The union of all of these vanishing points is the vanishing line
- Note that different planes define different vanishing lines
  - The direction of the vanishing line tells us the orientation of the plane

线对应 vanishing point，面对应 vanishing line

Example

这里的海平面就代表了相机的相对高度，在海平面以下的，说明景中的物的海拔比相机要低，想象有一个相机平面，如果一样高的话会汇聚到海平面，所以这里的人会比相机要低。

Perspective distortion¶

透视投影会产生畸变，直线还是直线，解决方案是 lens shifted w.r.t flim 轴移相机。

越远离中心，畸变越严重，所以移动相机的时候，要尽量保持相机的中心在物体的中心。

Radial distortion¶

透镜的形状不是完美的，会产生径向畸变，这个畸变是非线性的，所以不能用一个矩阵来表示，而是用一个多项式来表示。这种畸变是取决于镜头的，有枕型畸变 (pincushion distortion，长焦易发生 ) 和桶型畸变 (barrel distortion，短焦易发生 )。

\[ \begin{align*} r^2 &= x_n'^2 + y_n'^2, \\ x_d' &= x_n' \left( 1 + \kappa_1 r^2 + \kappa_2 r^4 \right), \\ y_d' &= y_n' \left( 1 + \kappa_1 r^2 + \kappa_2 r^4 \right). \end{align*} \]